國立空中大學 113 學年度上學期期中考試題【正參】063 科目：商用微積分

⚫ 答案卷請標明題號，並詳列計算或證明過程，只寫最後結果不予計分。

1.試以淺顯易懂的文字描述何謂定義域？何謂值域？並出求下列函數的定義域。(15%)

3𝑥+1

(1)𝑓(𝑥) = 𝑥 6 − 1 (2)𝑓(𝑥) =

(𝑥+3)(𝑥−2)

解(1) 𝑥 ∈ ℝ ⇒ (−∞, ∞) (2) {𝑥|𝑥 ≠ −3, 𝑥 ≠ 2}

2.函數𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 3

(1)試求當𝑥從𝑥 = 1分別變到𝑥 = 3、𝑥 = 2、𝑥 = 1.1、𝑥 = 1.01、與𝑥 = 1.001時，

函數𝑓(𝑥)的平均變化率，並完成下表。(10%)

解

(1)

𝛥𝑥 = 𝑏 − 𝑎

𝛥𝑦 = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝛥𝑦/𝛥𝑥

從 𝑥 = 1到 𝑥 = 3 2 26 13

從 𝑥 = 1到 𝑥 = 2 1 7 7

從 𝑥 = 1到 𝑥 = 1.1 0.1 0.331 3.31

從 𝑥 = 1到 𝑥 = 1.01 0.01 0.030301 3.0301

從 𝑥 = 1到 𝑥 = 1.001 0.001 0.003003001 3.003001

(2)試求函數𝑓(𝑥)在𝑥 = 1的瞬間變化率。(10%)

𝛥𝑦 𝑓(𝑏)−𝑓(1) 𝑏3 −1 (𝑏−1)(𝑏2 +𝑏+1)

𝑙𝑖𝑚 = 𝑙𝑖𝑚 = 𝑙𝑖𝑚 = 𝑙𝑖𝑚 = 𝑙𝑖𝑚(𝑏2 + 𝑏 + 1) = 3

𝛥𝑥→0 𝛥𝑥 𝑏→1 𝑏−1 𝑏→1 𝑏−1 𝑏→1 𝑏−1 𝑏→1

(3)試畫出函數圖形，並描述其特點。(10%)

3.某產品的銷售量 q 與價格 p 具有如下關係：𝑞 = 10 − 2𝑝， 試 求 ：

(1)需 求 彈 性 𝐸(𝑝)。(10%)

(2)當𝑝 = 2 時 的 需 求 彈 性 ， 並解釋其意義。(5%)

解

𝑑𝑞 𝑝 𝑑𝑞 𝑝 2𝑝 𝑝

(1)由 𝑞 = 10 − 2𝑝 → = −2， 𝐸(𝑝) = − =− ⋅ (−2) = = 。

𝑑𝑝 𝑞 𝑑𝑝 10−2𝑝 10−2𝑝 5−𝑝

2 2

(2)當𝑝 = 2 時 ， 𝐸(2) = 5−2 = 3

2

意 義 ： 在 價 格 𝑝 = 2 時 ， 價 格 上 漲 1%， 造 成 需 求 數 量 下 跌 3

%。

4.試求下列極限值。(15%)

𝑥−3

(1)𝑙𝑖𝑚[(𝑥 − 2)3 ⋅ |𝑥 3 − 4𝑥 + 4|] (2)𝑙𝑖𝑚 (𝑥+10)5

𝑥→1 𝑥→3

解

𝑥−3

(1)𝑙𝑖𝑚[(𝑥 − 2)3 ⋅ |𝑥 3 − 4𝑥 + 4|] = (−1)(1) = −1 (2)𝑙𝑖𝑚 (𝑥+10)5 = 0

𝑥→1 𝑥→3

5.試求下列各函數的一階和二階導函數。(15%)

(1)𝑓(𝑥) = (√𝑥 + 1)(√𝑥 − 1)(√𝑥 + 2)(√𝑥 − 2)

5 1

(2)𝑓(𝑥) = √𝑥(𝑥 2 − 1) = 𝑥 2 − 𝑥 2

解

(1)𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 − 5, 𝑓″(𝑥) = 2 (略)

3 1 1 3

5 1 15 1

(2)𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 − 2,𝑓 ″ (𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 −2

2 2 4 4

6.空大早餐店以 每 塊 價 格 30元 出 售 蛋 餅 。 設 蛋 餅 鍋 子 費 用 為 1,000元 ， 且 製 作 每

一 蛋 餅 之 食 材 成 本 為 5元 ， 試 求 ：

(1)收 入 函 數 𝑅(𝑥)與 成 本 函 數 𝐶(𝑥)。 (5%)

(2)銷 售 量 為 500 時 之 利 潤 。 (5%)

解

(1)由 題 意 得 知 𝑅(𝑥) = 30𝑥, 𝐶(𝑥) = 5𝑥 + 1000。

(2)利潤函數為𝜋(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) = 30𝑥 − 5𝑥 − 1000 = 25𝑥 − 1000

∴ 𝜋(500) = 25 × 500 − 1000 = 12500 − 1000=11500元。