國立空中大學 113 學年度上學期期末考試題【正參】063 科目：商用微積分

※答題請按順序作答，計算過程需完整詳列，無須抄題

1.極值問題(20%)

設函數 f ( x) = x 2 + 4 x + 8 ，試求函數 f ( x) 的增減區間。

解 f ( x) = 2 x + 4 = 0  x = −2

x −2

f ( x) − +

f ( x)

2.商學上極值的應用(20%)

假設某一廠商所面對的需求函數為 Q = 150 − P ，其中 P 為價格且 Q 為產量。該廠商之總成本函數為

TC = 200 + 90Q + 2Q 2 ，試回答下列問題。

(1)試列出廠商之收益函數。(5%)

(2)試列出廠商之利潤函數。(5%)

(3)試問利潤極大化下，該廠商的產量、定價與利潤各為何？(10%)

解

(1)收益函數 TR = PQ = (150 − Q ) Q = 150Q − Q 2

(2)利潤函數  = TR − TC = −3Q 2 + 60Q − 200

(3)F.O.C.

d

= 0  −6Q + 60 = 0  Q = 10, P = 140

dQ

利潤  = −300 + 600 − 200 = 100

3.面積與定積分(20%)

(1)已知函數 f ( x) = x 2 − 2 x + 5 ，試求其反導函數 F ( x ) 。(10%)

(2)試求反導函數 F ( x ) 在區間 [1, 2]的平均值。(10%)

解

1

(1)  f ( x)dx =  ( x 2 − 2 x + 5)dx = x3 − x 2 + 5x + C

3

2

1 2 2 1 1 1  13

(2)

2 −1 1 

( x − 2 x + 5) dx = ( x3 − x2 + 5x) = (  23 − 22 + 10) − ( − 1 + 5)  =

3 1  3 3  3

1

4.羅必達法則(20%)

x2 −1

(1) lim

x →1 x 3 − 1

x −1

(2) lim

x →1 ln x

解

(1) lim x 3 − 1 = lim 2 x2 = 2

2

x →1 x −1 x→1 3 x 3

(2) lim x − 1 = lim 1 = 1

x →1 ln x x →1 1

x

5.兩函數圖形圍成區域之面積(20%)

(1)先畫出函數 f ( x) = x + 1 之圖形(5%)

(2)再畫出函數 g ( x) = x 2 − 1 之圖形(5%)

(3)求出兩圖形交點之 x 值(5%)

(4)求解兩函數圖形圍成區域之面積(5%)

解

f ( x) = x + 1 與 g ( x) = x 2 − 1

x 2 − 1 = x + 1, x − x − 2 = 0

2

x = 2 or − 1

 ( x + 1) − ( x + 1) dx

2

2

−1

 ( − x + x + 2) dx

2

= 2

−1

2

 1 1 

=  − x3 + x2 + 2 x 

 3 2  −1

 8  1 1  9

=  − + 2 + 4 −  + − 2 =

 3  3 2  2

2