國立空中大學 113 學年度上學期期末考試題【副參】063 科目：商用微積分

※答題請按順序作答，計算過程需完整詳列，無須抄題

1.極值問題(20%)

設函數 f ( x) = 3 x + 10 ，試求函數 f ( x) 的相對極值。

1 −2 1

解 f ( x) = x 3 = 0

3 3 x2

3

沒有相對極值。

2.代換積分法(20%)

(1)試說明代換積分法使用的時機。(5%)

1- 3x

(2)已知不定積分式 ò dx ，試利用代換積分法改寫原式。(5%)

2 x – 3x 2

(3)試求解上題不定積分。(5%)

1

1- 3 x

(4)求解定積分 ò 3 dx 。(5%)

0

2 x – 3x 2

解

(1)略

(2)令 u = 2 x – 3x 2 ，則 du = (2 – 6 x)dx = 2(1- 3x)dx

1- 3x 1 du

(3) 覈 2x – 3x dx = = u+ c= 2 x – 3x 2 + c

2

u 2

1 1

1 1 du 1

(4)上限 u = 下限 u = 0 ， ò 3 = u 3=

3 0 u 2 3

0

3.羅必達法則(20%)

x

(1) lim x

x → e

ln( x − 1)

(2) lim+

x →1 ln( x 2 − 1)

解

(1) lim xx = lim 1x = 0 。

x→ e x → e

1

1 1

ln( x − 1) − −1 x + 1 1+ 1

(2) lim+ = lim+ x 1 = lim+ x = lim+ = = 1。

x →1 ln( x 2 − 1) x →1 2x x →1 2x x →1 2 x 2

x2 −1 ( x + 1)( x − 1)

4.反導函數與特解(20%)

(1)先利用 f ‘ ( x ) = 4 x 3 − 3x 2 + 1 ，求出反導函數(5%)

(2)再利用初始條件 f (1) = 3 ，求解 C (5%)

(3)最後求出特解(5%)

(4)試以上述反導函數與初始條件求出特解的概念，說明為何當給定某國的邊際消費傾向，可求出

該國的消費函數？(5%)

解

(1) f ‘ ( x ) = 4 x 3 − 3x 2 + 1 ， f ( x) =  (4 x3 + 3x 2 + 1) dx = x 4 − x3 + x + C

(2)利用初始條件 f (1) = 3 可得 C = 0

(3)特解為 f ( x) = x + ln x

(4)略

5.綜合題(20%)

空大宅 配 的 運 費 以 包 裹 的 長 寬 高 長 度 總 和 來 計 價 。 若 某 包 裹 的 長 寬 高 的 長 度 總 和 限 制 在

60公 分 的 話 ， 請 問 此 包 裹 的 最 大 容 量 為 何 ？

解

由 題 意 知 ： 目 標 函 數 V ( x, y, z ) = xyz

限 制 函 數 x + y + z = 60

得 L( x, y, z,  ) = xyz +  ( x + y + z − 60)

 L

 x = yz +  = 0  (1)

 L



則  y = xz +  = 0  (2)

 L

 = xy +  = 0  (3)

 z

 x + y + z = 60  (4)

先 由 式 (1)、 (2)、 (3) 得 yz = xz = xy ， 即 x = y = z

代 入 (4)式 解 得 x = y = z = 20

故 V = xyz = 20  20  20 = 8000 (公分) 3 。

max

2